El Último Teorema de Fermat

El Último Teorema de Fermat afirma que
xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras para x, y y z cuando n < 2. 

Fermat escribió:
He descubierto una prueba verdaderamente extraordinaria pero este margen es demasiado pequeño para contenerla.
Casi sin duda Fermat escribió la nota al margen alrededor de 1630, cuando estudió por primera vez la Arithmetica de Diofanto. Sin embargo, bien puede ser que Fermat se haya dado cuenta que su prueba extraordinaria era incorrecta, ya que todos sus otros teoremas fueron afirmados y reafirmados en problemas-reto que Fermat envió a otros matemáticos. Aunque los casos especiales para n = 3 y n = 4 fueron formulados como retos (y Fermat sí sabía cómo probarlos) el teorema general nunca fue mencionado de nuevo por Fermat.

De hecho, en toda la obra matemática que dejó Fermat solamente hay una demostración. Fermat prueba que el área de un triángulo rectángulo no pude ser un cuadrado. Esto claramente implica que un triángulo racional no puede ser un cuadrado racional. En símbolos, no existen enteros x, y, z que cumplan

x2 + y2 = z2
y que sean tales que xy/2 sea un cuadrado. De esto es fácil deducir el caso n = 4 del teorema de Fermat.

Vale la pena hacer notar que a partir de este punto faltaba demostrar el Último Teorema de Fermat nada más para las n primas impares. Ya que si existieran enteros x, y, z tales que xn + yn = zn, entonces si n = pq,

(xq)p + (yq)p = (zq)p.
Euler le escribió a Goldbach el 4 de agosto de 1735 afirmando que tenía una demostración del Teorema de Fermat cuando n = 3. Sin embargo, su demostración en Algebra (1770) contiene una falacia y no es nada fácil dar una prueba alternativa del enunciado falso. Hay una forma directa de arreglar la demostración usando argumentos que aparecen en otras demostraciones de Euler así que puede ser razonable atribuirle el caso n = 3 a Euler.

El error de Euler es interesante y hay que entenderlo para los siguientes desarrollos. Necesitaba encontrar cubos de la forma

p2 + 3q2
y Euler demuestra que, para cualquier a y b, si hacemos

p = a3 - 9ab2, q = 3(a2b - b3)
entonces
p2 + 3q2 = (a2 - 3b2)3.
Esto es verdadero pero después trata de demostrar que, si p2 + 3q2 es un cubo, entonces existen una a y una b tales que p y q son como arriba. Su método es imaginativo, calculando con números de la forma a + b√-3. Sin embargo, los números que tienen esta forma no se comportan del mismo modo que los enteros, de lo cual Euler parece no haberse dado cuenta.

El siguiente adelanto importante lo hizo Sophie Germain. Un caso especial dice que si n y 2n + 1 son primos, entonces xn + yn = zn implica que una de x, y o z es divisible entre n. Entonces el Último Teorema de Fermat se divide en dos casos.

Caso 1: Ni x, ni y, ni z son divisibles entre n.
Caso 2: Una y solo una de x, y o z es divisible entre n.
Sophie Germain demostró el Caso 1 del Último Teorema de Fermat para toda n menor a 100 y Legendre extendió sus métodos para todos los números menores a 197. Hasta ese punto, el Caso 2 no se había demostrado ni siquiera para n = 5 así que quedó claro que el Caso 2 era en el que había que concentrarse. Ahora bien, el Caso 2 para n = 5 se divide a su vez en dos. Una de x, y o z es par y una de ellas es divisible entre 5. El Caso 2(i) es en el que el número divisible entre 5 es par; el Caso 2(ii) es en el que el número par y el que es divisible entre 5 son diferentes.

El Caso 2(i) lo demostró Dirichlet y fue presentado a la Academia de Ciencias de París en Julio de 1825. Legendre pudo probar el Caso 2(ii) y la demostración completa para n fue publicada en septiembre de 1825. De hecho, Dirichlet pudo completar su propia demostración del caso para n = 5 con un argumento para el Caso 2(ii) que es una extensión de su propio argumento para el Caso 2(i).

En 1832, Dirichlet publicó una demostración para el último teorema de Fermat cuando n = 14. Claro que estaba tratando de demostrar el caso n = 7 pero había demostrado un resultado más débil. El caso n = 7 fue finalmente resuelto por Lamé en 1839. Mostraba por qué Dirichlet había tenido tanta dificultad ya que, aunque en la prueba de Dirichlet para n = 14 se usaban argumentos similares (pero computacionalmente mucho más difíciles) a los casos anteriores, Lamé tuvo que introducir algunos métodos totalmente nuevos. La demostración de Lamé es extremadamente difícil y hace parecer como que progresar a n más grandes sería casi imposible sin formas de pensar radicalmente novedosas.

El año 1847 es de gran importancia en el estudio del Último teorema de Fermat. El 1 de marzo de ese año, Lamé anunció a la Academia de París que había demostrado el Último teorema de Fermat. Esbozó una prueba que involucraba factorizar xn + yn = zn en factores lineales de números complejos. Lamé aceptaba que la idea le había sido sugerida por Liouvilli. Sin embargo, Liouville se dirigió a los asistentes después que Lamé y sugirió que el problema con este acercamiento era que se necesitaba una factorización única en primos para estos número complejos y dudaba que fuera cierta. Cauchy apoyó a Lamé pero, en su típica manera, apuntó que había reportado a la reunión de la Academia en octubre de 1847 una idea que creía que podría demostrar el Último teorema de Fermat.

Mucho trabajo se llevó a cabo durante las siguientes semanas tratando de demostrar que la factorización era única. Wantzel afirmó haberla probado el 15 de marzo pero su argumento

Es verdadero para n = 2, n =3 y n =4 y uno puede ver fácilmente que lo mismo aplica para n > 4
era un tanto ingenuo.

[Wantzel estaba en lo correcto sobre n = 2 (enteros ordinarios), n = 3 (el argumento sobre el que Euler estaba equivocado) y n = 4 (que fue demostrado por Gauss).]

El 24 de mayo, Liouville leyó una carta a la Academia la cual resolvió la discusión. La carta era de Kummer y traía adjunto una separata de un artículo de 1844 que demostraba que fallaba la factorización única pero que podía 'recuperarse' con la introducción de números complejos ideales, lo cual había hecho en 1846. Kummer había usado su nueva teoría para encontrar condiciones bajo las cuales un primo es regular y había demostrado el Último teorema de Fermat para los primos regulares. Kummer también decía en su carta que creía que el 37 no cumplía con sus condiciones.

Para septiembre de 1847, Kummer envió a Dirichlet y a la Academia de Berlín un artículo en el que probaba que un primo p es regular (y que entonces cumple con el último teorema de Fermat) si p no divide a los numeradores de ninguno de los números de Bernoullin B2, B4, ..., Bp-3. El número de Bernoulli Bn se define como

x/(ex - 1) = Bn xn/n!
Kummer demuestra que todos los primos menores a 37 son regulares pero el 37 no lo es ya que divide al numerador de B32.

Los únicos primos menores a 100 que nos son regulares son 37, 59 y 67. Se usaron técnicas más fuertes para demostrar el último teorema de Fermat para estos números. Este trabajo fue hecho y continuado para números más grandes por Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwängler, Vandiver y otros. Aunque se esperaba que el número de primos regulares fuera infinito, probarlo también era un reto. En 1915 Jensen demostró que el número de primos irregulares es infinito.

A pesar de que se ofrecían cuantiosos premios por una solución, el último teorema de Fermat seguía sin ser demostrado. Tiene el dudoso honor de ser el teorema con el mayor número de pruebas falsas publicadas. Por ejemplo, más de mil demostraciones falsas fueron publicadas entre 1908 y 1912. El único progreso positivo parecía ser los resultados computacionales que mostraban simplemente que cualquier contraejemplo sería muy grande. Usando técnicas basadas en el trabajo de Kummer, hasta 1993 se había demostrado que el teorema es verdadero para n hasta 4 000 000.

En 1983 una contribución mayor vino de Gerd Faltings quien demostró que para toda n > 2, hay a lo más un número finito de enteros x, y, z primos entre sí para los cuales xn + yn = zn. Esto fue un gran paso pero no era probable que siguiera una prueba de que el número finito era 0 para todos los casos extendiendo los argumentos de Faltings.

El último capítulo de la historia empezó en 1955, aunque en aquel entonces no se pensaba que el trabajo estuviera conectado al último teorema de Fermat. Yutaka Taniyama hizo algunas preguntas sobre curvas elípticas, es decir, curvas que tienen la forma y2 = x3 + ax = b para a y b constantes. Trabajos adicionales de Weil y Shimura produjeron una conjetura, conocida ahora como la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. En 1986, Frey, en Saarbrücken, hizo la conexión entre esta Conjetura y el último teorema al mostrar que dicho teorema estaba lejos de ser una curiosidad poco importante de la teoría de números sino que de hecho estaba relacionado con las propiedades fundamentales del espacio.

Trabajos de otros matemáticos demostraron que un contraejemplo al último teorema de Fermat daría un contraejemplo a la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. La demostración del último teorema de Fermat fue completada en 1993 por Andrew Wiles, un matemático británico que trabajaba en la universidad de Princeton en Estados Unidos. Wiles dio una serie de tres pláticas en el Instituto Isaac Newton de Cambridge, Inglaterra, la primera de ellas el lunes 21 de junio, la segunda el martes 22. El la última plática, el miércoles 23 de junio de 1993, alrededor de las 10:30 de la mañana, Wiles anunció su demostración del último teorema de Fermat como un corolario de sus resultados principales. Después de escribir el teorema en el pizarrón, dijo me detendré aquí y se sentó. De hecho, Wiles había demostrado la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil para una clase de ejemplos, incluyendo aquellos necesarios para probar el último teorema de Fermat.

Esto, sin embargo, no es el final de la historia. El 4 de diciembre de 1993, Andrew Wiles hizo una declaración en vista de la especulación. Explicó que durante el proceso de revisión habían surgido algunos problemas, la mayoría de los cuales ya había sido resuelta. No obstante, quedaba un problema y Wiles esencialmente retiró su reivindicación de la demostración. Declaró que

La reducción clave de (casi todos los casos de) la Conjetura Taniyama-Shimura a calcular el grupo de Selmer es correcta. Sin embargo el cálculo final de una cota superior precisa para el grupo de Selmer en el caso semicuadrado (de la representación simétrica cuadrada asociada a una forma modular) no está completado aún. Creo que podré terminarlo en el futuro próximo usando las ideas explicadas en mis pláticas en Cambridge.
En marzo de 1994, Faltings, escribiendo en la revista Scientific American, dijo

Si fuera fácil, lo habría resuelto ya. Estrictamente hablando, no era una demostración cuando fue anunciada.

Weil escribió, también en Scientific American, que

Creo que él ha tenido algunas buenas ideas al tratar de construir la demostración pero no la tiene. En cierta medida, demostrar el teorema de Fermat es como escalar el Everest. Si un hombre desea escalarlo pero se queda a cien yardas, no habrá escalado el Everest.
De hecho, desde principios de 1994, Wiles comenzó a trabajar con Richard Taylor en un intento de rellenar los hoyos. Sin embargo decidieron que uno de los pasos claves en la demostración, que usa métodos desarrollados por Flach, no funcionaba. Intentaron un nuevo acercamiento también carente de éxito. En agosto de 1994, Wiles se dirigió al Congreso Internacional de Matemáticos pero no había logrado resolver las dificultades.

Taylor sugirió un último intento de extender el método de Flach en la manera necesaria y Wiles, aunque convencido de que no funcionaría, aceptó, principalmente para tener oportunidad de convencer a Taylor de que nunca serviría. Wiles trabajó en ello durante un par de semanas y la inspiración le llegó súbitamente.

En un destello vi que lo que el impedía funcionar [la extensión del método de Flach] era algo que haría servir otro método que había intentado previamente.
El 6 de octubre, Wiles envió la nueva prueba a tres colegas, incluyendo a Faltings. A todos les gustó la nueva demostración que era mucho más simple que la anterior. Faltings envió una simplificación de un pedazo de la prueba.

Ninguna prueba tan compleja como ésta puede garantizarse que sea correcta, así que una pequeña duda se mantendrá por algún tiempo. Sin embargo, cuando Taylor dio una charla ante el Coloquio Británico de Matemáticas en Edimburgo en abril de 1995, dio la impresión de que ya no quedan realmente dudas sobre el último teorema de Fermat.


El enunciado del último Teorema de Fermat (1601-1665) quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría (150 A.C.) traducida al latín por Claude Gaspar Bachet (1581-1638) publicado en 1621. Este libro, con las numerosas notas marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel. El enunciado del teorema dice que la ecuación


(1)


no tiene soluciones enteras para n>2. Fermat afirma que tenía una demostración, pero se exime de darla argumentado que el márgen es demasiado estrecho como para dárnosla.

Recientemente, en 1995, Wiles demostró este teorema. Para entender mejor este teorema veamos el caso n=2, para el cual existen soluciones enteras.






(2)


Hagamos cuatro filas de números (esquema 1). En la primera van los números naturales 1,2,…; en la segunda sus cuadrados 1, 4, 9, …; en la tercera la diferencia entre los cuadrados vecinos 3, 5, 7, …; en la cuarta las diferencias de las diferencias 2, 2, …


Esquema 1.

Los elementos de la segunda fila se obtienen sumando al cuadrado la diferencia, que es la serie de números impares, y se obtiene el cuadrado siguiente. Si nos fijamos en el número 25=(5)2 vemos que se tiene:

144 + 25 = 169
(12)2 + (5)2 = (13)2 (3)


Es fácil generalizar esta fórmula obteniéndose:


(4)


que da una serie de soluciones enteras a la ecuación (2). La obtención de soluciones enteras en forma matemática y experimental puede hacerse con un computador.

En la serie de cuadrados 4, 9, …, se busca para uno cualquiera de los cuadrados si el menor tiene alguno que sumado al primero da el cuadrado elegido. Por ejemplo, para (5)2 = 25, tenemos:

1 + 4 = 5 4 + 9 = 13 9 + 16 = 25 
1 + 9 = 10 4 + 16 = 20 9 + 25 = 34 
1 + 16 = 17 4 + 25 = 29 
1 + 25 = 26 

Esquema 2

Solamente se obtiene el caso (3)2 + (4)2 = (5)2 = 9 + 16 = 25. Se ve cómo fácilmente puede obtenerse los casos posibles para un cuadrado cualquiera. El caso general, es decir, la solución de la ecuación (2) cuando x, y, o z no tienen un divisor común es la siguiente:



(5)


u y v son números primos entre sí; uno de ellos es par y el otro impar. Si x, y, z tuvieran un divisor común, la ecuación podría escribirse como sigue:


(6)


En tal caso, podría obtenerse una solución x, y, z, que conforman una solución reducida.

La sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
(7)


puede obtenerse fácilmente con el método de la criba de Eratóstenes (275-194 A.C.).

Usando la sucesión (7) y las fórmulas (5) obtenemos la sucesión de soluciones reducidas:

x = 3 y = 4 z = 5 
x = 5 y = 12 z = 13 
x = 15 y = 8 z = 17 
x = 7 y = 24 z = 25 
x = 21 y = 20 z = 29 
x = 9 y = 40 z = 41 
... ... ... (8)


Esta solución se puede estudiar en los tratados elementales de teoría de números de Rademacher y Toeplitz [1] y de Carmichael [2].

Todos estos tipos de investigaciones, tanto teóricas como numéricas se han aplicado al último Teorema de Fermat. Las investigaciones numéricas, con las últimas tecnologías computacionales no han podido encontrar una contradicción al teorema de Fermat. En tanto las investigaciones teóricas no lograron una demostración general sino para ciertos números particulares. Veamos cómo fue el desarrollo histórico de la búsqueda de la demostración general que finalmente obtuvo Wiles.

El primer paso para una demostración fue obtenida por Fermat para n=4, mediante el método conocido como descenso infinito. Aceptando que no se cumple el teorema, se demuestra que se obtiene un absurdo, en este caso, el que los números enteros no tienen un mínimo [2]

Posteriormente, Leonard Euler (1707-1783), lo demostró para n = 3 introduciendo los enteros imaginarios, es decir números de la forma [p, q, (1,2,3,…)].

Estas demostraciones se extienden a todos los números de la forma 3m ó 4m (m=1, 2, 3,…). Se vio entonces que sólo sería necesario probar el Teorema de Fermat para los números primos (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…), puesto que todo número se puede expresar como producto de primos. Fue así entonces como Sophie Germain (1776-1831), propuso que se demostrara para los números primos de la forma 2p+1 (3, 5, 7, 11, …).

Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) y Adrien Marie Legendre (1752-1833) probaron el teorema para n = 5 en 1825, y en 1839 Gabriel Lamé (1795-1870) lo prueba para n = 7 en forma simultánea con Augustin Louis Cauchy (1789-1857). De esta forma, en 1817 Lamé, proclama haber demostrado el teorema, y ambos dieron, antes de publicar la demostración, los fundamentos de la demostración que se basaba en la unicidad de la factorización de un número cualquiera en números primos. Como se trataba de números imaginarios, Ernest Edward Kummer (1810-1893) y Dimitri Mirimanoff mostraron que eso no se cumplía en este caso. Sin embargo esta demostración podía arreglarse, pero sólo hasta n = 31; para números menores de 100, en particular para n = 37, 59, y 67, no pudieron probarlo.

De esta forma es como termina lo que llamaremos etapa clásica de la demostración del teorema de Fermat..

En 1975 Andrew Wiles (1953- ) comenzó a estudiar las curvas elípticas del tipo , buscando obviamente las soluciones con números enteros.

Por ejemplo, tiene por soluciones 5 2 = 3 3 - 2, etc.

Cuál es el número Ep de soluciones?…Este problema es difícil porque este número es infinito. Sin embargo usando los sistemas módulo p, el número EP resulta ser finito. Hay que recordar que un sistema módulo p es, por ejemplo:

p = 3 1, 2, 3, 3+1=1, 3+2=2, 3+3=3, 3+3+1=1,… (9)


Así, para la ecuación , se tiene:

Ep=1 = 1, Ep=2 = 4, Ep=3 = 4, Ep=4 = 8, Ep=5 = 4, Ep=6 = 16, Ep=7 = 9, Ep=8 = 16,... (10)


Para esta época, Goro Shimura (1926-1958) y Yutaka Taniyama (1927- ) estudiaron las simetrías de las formas modulares que cubren un espacio -por ejemplo- hiperbólico. Estas formas modulares contienen un número infinito de elementos básicos i. Cada uno de estos elementos básicos consiste en diferentes cantidades. Mi denota la cantidad del i-ésimo elemento básico. Por ejemplo, M1 = 1, M2 = 2, M3 = 4, …. Shimura - Taniyama estudiaron la conjetura de que a cada forma modular le corresponde una curva elíptica y viceversa. Esta correspondencia se establece por la identidad de las sucesiones M y E:

M1 = E1, M2 = E2, …
(11)


En 1984, Gerhard Frey probó que si se puede probar la conjetura de Taniyama y Shimura, el teorema de Fermat estaba probado, lo que logró demostrando que se verifica lo siguiente:

AN + BN = CN ó Y2 = X3 + (AN - BN) X2 - ANBN (12)


De esta manera fue como entre 1984 y 1995, Wiles enfocó sus estudios a la forma de probar la conjetura de Taniyama y Shimura, lográndolo en 1995 con una cantidad muy grande de cálculos y cadenas lógicas, entre las cuales se distingue la geometría diferencial.

Una forma sencilla de ver la conexión del Teorema de Fermat con la geometría se obtiene tomando coordenadas homogéneas. Así que dividiendo la ecuación (1) por zn se tiene:

(13)

Aquí y son dos coordenadas homogéneas, llamadas de esta forma por cuanto son adimensionales. Además, como z es mayor que x o y, tanto x como h tienen valores mayores que cero y menores que uno, es decir: , . Así que la ecuación (13) se transforma en

(14)

En la fórmula (14), x es un cociente de números enteros que se denominan números o fracciones racionales. Veremos que pasa con h de acuerdo con el Teorema de Fermat. Cuando n=1, y a cada fracción racional x corresponde una h . La ecuación, , corresponde a una línea recta como se aprecia en la figura 1. Esta recta pasa por todas las fracciones racionales. En otras palabrass, establece una correspondencia biunívoca entre todas las fracciones racionales del intervalo con el intervalo . Esta recta pasa por los puntos y , como es el caso para todo n.


Figura 1. Representación gráfica de la ecuación de Fermat . Tomando variables homogéneas , queda . Esta ecuación representa una recta que pasa por todos los racionales cuando n=1; un círculo que pasa solo por los racionales Pitagóricos, cuando n=2; una elipse generalizada cuando n>2, que no pasa por ningún racional. Cuando n es muy grande tiende a un segmento n=1, 0<=e<=1, que no contiene ningún racional (segmento de Dirichlet).

En el caso de n=2, la ecuación (14) se convierte en:

(15)

Esta es la ecuación de un círculo, donde todos los puntos equidistan del centro y esta distancia es uno. Recuerde el Teorema de Pitágoras. Estas fracciones se obtienen de las soluciones reducidas (8), dividiendo por z:

(16)

Entre las fracciones, el círculo solo pasa por estas fracciones racionales pitagóricas. Cuando n es mayor que 2, el teorema de Fermat afirma que tomando x valores racionales los h no pueden tomar el valor de ninguna fracción racional. Los h serán todos irracionales. Se denominan fracciones irracionales aquellas que se forman por adiciones, multiplicaciones , divisiones y extracción de raíz a partir de los racionales. Por ejemplo, para n=3, se tiene:

y (17)

Cuando h es muy grande (n ® ¥ ), las curvas tienden a acercarse al segmento superior , h =1. Pero este segmento superior no tiene ningún punto racional y se denomina recta de Dirichlet. En geometría mostramos que el teorema de Fermat consiste en afirmar que la figura que representa ecuación (13), para n=1, pasa por todos los racionales; para n=2, pasa por los racionales pitagóricos; para n >= 2, no pasa por ningún racional.

Esto no pudo demostrarse en dos dimensiones y fue necesario pasar a 4 dimensiones, dándole a x e y valores complejos. La figura 1 es una sección de la superficie en 4 dimensiones cuando se anulan los puntos imaginarios.

En los libros de Singh y Aczel [Singh, S., "Fermat's Enigma", Walker, N.Y., 1997. Aczel, A. D., "Fermat's last theorem", Dell, N.Y., 1997.
], se refiere con más detalles y en forma muy amena toda la historia, así como también se encuentra bibliografía más moderna y especializada. Aquí sólo tratamos de dar una ligera idea de lo que pasó y a qué se refiere el último teorema de Fermat, considerado como uno de los grandes desafíos de la matemática.

Este teorema resistió 300 años antes de ser demostrado y se lo consiguió gracias a un isomorfismo con propiedades geométricas. Es un ejemplo más de que muchas propiedades matemáticas se han desarrollado a través de un isomorfismo entre la geometría y otra rama, en este caso, la teoría de números. Se pensó alguna vez que pertenecía a la clase de proposiciones matemáticas que no pueden ser probadas o negadas.

Otro caso fue el estudio de las soluciones de la ecuación de quinto grado, realizado por Felix Klein (1849-1925), quien las sistematizó y que se obtienen a través de funciones modulares elípticas, a través de los grupos de simetría del icosaedro.

fuente: http://www.ciencia.cl/CienciaAlDia/volumen2/numero1/articulos/articulo1.html